Matriks dan Operasinya

DEFINISI

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.

A=é a b c ù
tttë d e f û

Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A


ORDO

ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.

A=é a b c ù
tttë d e f û ordo matriks A2x3

Banyaknya baris = 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b c

Banyaknya kolom = 3

kolom 1 : é a ù
tttttttttttë d û

kolom 2 : é b ù
tttttttttttë e û

kolom 3 : é c ù
tttttttttttë f û

keterangan: A2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1

MATRIKS BUJUR SANGKAR

Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama

A=é a b ù
tttë c d û A berordo 2



KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika

a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama

A B

é 4p+q2 ù = é 4 2 ù
ë 5p+q 5 û ë 7 q+3 û

q + 3 = 5 ® q =2
5p + q = 7 ® p = 1


MATRIKS TRANSPOS

_
Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.

A=é a b c ù
tttë d e f û 2x3

At =é a d ù
ê b e ú
tt t ë c f û 3x2

PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).
A

+ B

= A + B
é a b ù
ë c d û é p q ù
ë r s û é a + p b + q ù
ë c + r d + s û




PENGURANGAN MATRIKS

Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.

A - B = A + (-B)A

- B

= A - B
é a b ù
ë c d û é p q ù
ë r s û é a - p b - q ù
ë c - r d - s û




PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.A = é a b ù
ë c d û ® k A = é ka kb ù
ë kc kd û

Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B

hasil
¾¾¾¾¾¾¾
A m x n x B n x p = C m x p
¾¾¾
Aturan perkalian

Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.

Contoh :

1.A= é a b ù
ë c d û dan B = é x ù
ë y û


A x B = é a b ù
ë c d û é x ù
ë y û é ax + by ù
ë cx + dy û




2.[ a b c ] é x ù
ê y ú
ë z û = [ ax + by + cz ]

1 x 3 3 x 1 1 x 1




3.é a b c ù
ë d e f û é x ù
ê y ú
ë z û = é ax + by + cz ù
ë dx + ey + fz û

2 x 3 3 x 1 2 x 1




Ket :

perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ¹ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

Jika A2x2 = é a b ù , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai
Jika A2x2 = ë c d û
+
|A| = ad - bc

- - -
Jika A3x3 = é a b c ù a b
Jika A3x3 = ê d e f ú d e
Jika A3x3 = ë g h i û g h
+ + +

maka determinan matriks A didefinisikan sebagai

|A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

Keterangan:

Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.

|A| =a ½ e f ½ - b ½ d f ½ + c ½ d e ½ = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge
½ h i ½ ½ g i ½ ½ g h ½

MATRIKS SATUAN

adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.

Notasi : I (Identitas)I2 = é 1 0 ù
ë 0 1 û I3 = é 1 0 1 ù
ê 0 1 0 ú
ë 0 0 1 û




Sifat AI = IA = A



MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).

Jika A = é a b ù , maka A-1 = 1 = é d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c a û

Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A

Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.

Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.


Sifat A . A-1 = A-1 . A = I

Perluasan

A . B = I ® A = B-1 B = A-1
A . B = C ® A = C . B-1 B = A-1 . C

Sifat-Sifat

1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (A . B)t = Bt . At
4. (A-t)-t = A
5. (A . B)-1 = B-1 . A-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|